Теорія антиномії і множин

Історія розвитку теорії антиномії і множин почалася з того моменту, як в 1873 році Георгом Кантором було введено поняття довільного числового безлічі, а трохи пізніше і загальне поняття безлічі, тобто саме абстрактне поняття в математиці. За допомогою взаємно-однозначних відображень Кантор впровадив поняття рівнопотужності множин, а потім визначив порівняння потужностей на менше-більше. Після такої серйозної виконаної роботи математик зміг раціонально класифікувати безлічі за величиною їх потужності в такий спосіб: кінцеві, рахункові, контінуальниє і т.д.

Ієрархічну класифікацію Кантор розглядав як продовження порядку цілих чисел. Таким чином, в математику була впроваджена актуальна нескінченність - значення, якого математики минулих років всіляко уникали.

Суперечливі моменти теорії безлічі

На перших етапах становлення теорія множин була зустрінута математиками цілком схвально. Адже вона допомогла узагальнити жордановскую теорію заходи, яка цілком успішно використовувалася в теорії інтеграла Лебега. Варто сказати, що теорія множин багатьма розглядалася як тверда основа майбутньої аксіоматики всієї математики. Але наступні події продемонстрували, що звична логіка не підходить для дослідження нескінченності, а інтуїція не завжди буває корисною в правильному виборі. Найперше протиріччя виявилося при розгляді найбільшого безлічі, тобто безлічі всіх множин. Це сталося в 1895 році. В результаті таких подій його довелося виключити з усієї математики як неприпустиме. Але незабаром з`явилися і інші суперечності, тобто антиномії.

Відео: Курс «Елементи аксіоматичної теорії множин»

Існує такий цікавий факт: Анрі Пуанкаре, який спочатку прийняв теорію множин і навіть дуже часто використовував її в своїх різноманітних дослідженнях, трохи пізніше безповоротно відкинув її і назвав «важкою хворобою математики». Але багато інших математики, наприклад, такі як Гільберт, Адамар і Бертран Рассел, не підтримали дане твердження Пуанкаре і виступили на захист «канторізма».

Такий стан значно посилило відкриття «аксіоми вибору», яка, як пізніше виявилося, неусвідомлено використовувалася в багатьох математичних доказах, наприклад в теорії дійсних чисел. Дана аксіома оголошує цим безліч, про склад якого нічого невідомо, і ця обставина велика група математиків порахувала виключно неприйнятним, тим більше що певні слідства аксіоми вибору в корені суперечили інтуїції.

Відео: Дискретна математика

Схематична ідея доведення теореми Кантора - Бернштейна

На самому початку двадцятого століття вдалося узгодити варіант теорії множин без «домішок» ранніх протиріч. Так що, більшість вчених того часу все ж прийняв теорію множин. Але бувалого єдності математики більше практично немає. Тому зовсім не дивно, що деяка частина наукових шкіл стала формувати альтернативні погляди на обгрунтування математики.